Tienes que verificar si el router funciona con 12V. De no ser 12V, tendrías que poner un inversor de 12vdc a 220vac.
Las 2 alimentaciones de 12V, le pones un diodo a la batería para que al interrumpirse la red, se alimente de la batería.
Hola , te doy una modesta sugerencia pues tengo una situacion parecida a la suya, tomas en bacup (fuente de respardo para computadora de mesa) hago la aceleración pues no se como le llamen por allá.
Bueno en resumen conectas a este bacup tu dvr, la fuente de las camaras y tu módem y para que tengas respaldo de varias horas si hay algun corte puedes agregarle la bateria de forma externa, si sufres de cortes electrico muy seguido debes de tener un cargador aparte para dicha bateria, pues dicho bacup la carga pero muy lentamente y al agregar en paralelo esta externa seria mas lenta aun la carga