Muchas gracias por responder tan rápido.
En realidad no es el eje, lo que está mal. Lo que está mal es el mandril o portabrocas. Y según parece, va roscado al eje (supongo que con rosca inversa). Pero no sé si hay alguna técnica para desenroscarlo, porque estuve intentando hacerlo en ambos sentidos, pero no pude moverlo ni un poquito.
Te dejaba una imagen del eje ya que hay roscados, cuadrados y cónicos. Tienen formas distintas de desarme. En tu caso habría que fijar con una llave fija el eje y hacer girar el mandril. No siempre salen fácil. Por lo general en algunos talleres si le compras a ellos el mandril no te cobran el cambio.
Finalmente lo he conseguido desmontar y no he necesitado ninguna llave para sujetar el eje. He visto la solución en youtube.
Donde va la broca, he sujetado el lado corto de una llave allen, como se sujetan las brocas.. He puesto la más grande que viene en un juego de llaves, de esos que venden para tener en casa. Dejando en horizontal el lado largo de la llave allen, he dato un golpe seco con un martillo, para hacerla girar (la he tenido que dar como 3 ó 4 veces) y se ha aflojado. Ha sido mucho más fácil de lo que pensaba.