Estimado buen día
Viendo su diagrama y las conexiones a realizar son las siguientes
Con pin4 C común
Para que el equipo esté siempre conectado o alimentado por Fuente de Alimentación en J3 deberá conectarse a pin 2 NA Normalmente Abierto de su Relé propuesto con ello siempre estará alimentando a Router en J1
Cuándo se corta la electricidad el Relé deja de funcionar y su contacto se abre y va a reposo y queda conectado el contacto pin 1 NC conecta Batería a su Router
Deberá mantenerse cargada la Batería con un sistema automático de carga para evitar descargas de ella
Saludos
Buen día
Suerte