lo que necesitás es un cable para conectar el equipo a la entrada de audio del pc, si tenés una buena tarjeta de sonido, mejor, pero con una onboard igual puede andar.
Desde la salida auricular del equipo o desde la salida estéreo de un amplificador podés conectar un cable en cuyo extremo opuesto conectás con la entrada de micrófono o Line-in de la tarjeta de sonido de tu ordenador, ese cable lo venden en cualquier tienda grande de música.
para grabar audio podés usar cualquier software de edición de sonido, por ejemplo el adobe audition, básicamente le inicas desde donde vas a grabar y presionas el botón record. y te recomiendo que busques en internet algún tutorial de cómo mejorar la calidad de sonido procedente de un cassette, porque viste que con el tiempo se van degradando y perdiendo calidad.
te paso unos links, de lo que hay más material es cómo pasar vinilo a cd, pero el procedimiento básico es igual:
http://www.musicareas.com/hard/audiodigital/practicas1.phtml
http://www.clarin.com/suplementos/informatica/2005/04/27/f-965152.htm
http://support.packardbell.com/es/item/index.php?i=cdwht04&psn=654100590239
suerte!