No siempre es necesario formatear, si tienes el disco de instalación inicia desde él y ve a la opción de reparar equipo, en la linea de comandos escribe chkdsk /f para intentar reparar los archivos corruptos.
Además, teniendo acceso a la linea de comandos, podrías copiar desde ahí a una memoria USB tus archivos, por ejemplo, tus archivos estan en C:\Users\Jonatan y la memoria que insertaste es K:\ prueba usar robocopy C:\Users\Jonatan K:\ /e o el comando estandar para copiar xcopy C:\Users\Jonatan K:\ /e , aunque también copiarias todos los archivos temporales y basura
O descargar y grabar el disco de utilerias Hireen's Boot CD, te ofrece una interfaz gráfica para que copies tus archivos desde tu disco duro a un disco externo o USB
O utilizar una distro Linux Live como Ubuntu para rescatar tus archivos