Pienso, aunque no es "exactamente" lo que deseas, que te puede servir configurar sincronizar con IMAP, no POP3, descargando solo los titulos (encabezados) de los mail cada cierto tiempo.
Con ello, podrás elegir que descargar localmente, y que no. Y si lo deseas, puedes configurar una carpeta donde lo que muevas allí, se guardará localmente y no en el servidor remoto.
Te dejo acceso a ayuda de Mozilla en español:
https://support.mozilla.org/es/kb/opciones-de-configuracin-de-cuentas
Saludos desde Uruguay