todas las distribuciones linux utilizan navegadores como firefox, chromium (la madre de chrome), o incluso algunos navegadores ligeros como midori.
yo te recomendaria usar lubuntu por las caracteristicas de tu maquina.
manjaro openbox podria ser otra buena opcion solo tienes que adaptarte a el funcionamiento que es bastante distinto a win, se accede al menu con el boton derecho en cualquier parte de la pantalla.
pupy es bueno y ligero pero a mi me ha parecido complicado.
otra es lxle muy ligera y agradable.
solo recuerda que cualquiera que elijas debe ser de 32 bits.
http://www.linuxmint.com/release.php?id=22
ahi estan varias ediciones de mint, quiza xfce te funcione de manera decente para tu equipo.
suerte.